geomatData

16 Haziran 2015 tarihinde yapılan 20. Ortaokul Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavının Geometri Sorularının Çözümü yapılmaktadır. Ortaokul matematik olimpiyat sorularını ve cevap anahtarını Tübitak'ın kendi sitesinde bulabiliriz. [ bkz... ] pdf için tıklayınız...

Matematikte ve Geometride tanım yaparken harflerden yararlanırız. Bu harfler genellikle kullanılan tanımın baş harfi olurlar. Bazen de matematikçinin isminin ya da soyisminin baş harfi kullanılır. Örneğin " e sayısı " bu sayıyı keşfeden matematikçi Euler'in baş harfinden gelmektedir. Bazıları anonim olmakla birlikte çoğu (özellikle) ingilizcede kullanılan kelimelerin baş harflerinden oluşturulmuştur. Şimdi hep birlikte onlara bakalım. N : Doğal sayıları tanımlarken kullanılır. İngilizcede 'Naturel' kelimesinin baş harfidir. Z : Tam sayılar için kullanılır. Almancada 'Zahlen' kelimesinden gelir. Zahlen kelime olarak 'saymak' demektir. Q : Rasyonel sayılar için kullanılır. İngilizcede 'Quotient' kelimesinin baş harfidir. R : Reel sayıları gösterirken kullanılan bu harf, ingilizcede 'Real' kelimesinin baş harfinden oluşturulmuştur. I : Sanal sayılar gösterilirken kullanılır. İngilizcede 'Imaginary' kelimesinden gelmek...

12 Mayıs 2018 tarihinde yapılan 23. Ortaokul Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavının Geometri Sorularının Çözümü yapılmaktadır. Soruların hepsi "metin" şeklinde verildiğini görüyoruz. Yani ilk önce şekli çizmemiz, ardından çizdiğimiz doğru şekli çözmemiz gerekiyor. Bu da alışılagelmiş geometri sorularından biraz daha zor olmasına neden oluyor. Ortaokul matematik olimpiyat sorularını ve cevap anahtarını Tübitak'ın kendi sitesinde bulabiliriz. [  bkz...  ] Bu sınavda 8 tane geometri sorusu sorulmuş. Şimdi sorulara ve çözümlerine bakalım. pdf hali için tıklayınız...

Matematikte çokça kullanılan ve zaman kazandıran bir konudur bölünebilme. Herhangi bir sayı aldığımızda onun hangi sayıların çarpımından oluştuğu ya da aldığımız herhangi sayıya bölünüp bölünmediği bizim için önemlidir. Peki "bölünebilme  kuralı" nedir, ne işe yarar ve nasıl oluşturulmuştur bu kurallar? Bölünebilme kuralları, bir sayının aldığımız herhangi bir sayıya tam bölünüp bölünmediğini sayıyı bölmeden bulmamızı sağlar. Bu sayede sayıyı tamamen bölmek yerine, kuralı kullanarak zaman kazanmış oluruz. Mesela 1294 sayısı 2'ye, 111 sayısı 3'e, 54234 sayısı 9'a tam bölünürler, fakat 8039 sayısı 5'e tam bölünmez. Gördüğünüz gibi vermiş olduğumuz örnekte sayıları birbirlerine bölmemize gerek kalmadan istediğimiz sayıya tam bölünüp bölünemeyeceğini tespit ettik. Peki, nasıl yaptık bunu? Bunu yaparken aldığımız sayıyı sayı basamakları na ayırdık. Örneğin beş basamaklı bir   abcde   sayısı alalım.  ( a , b , c , d , e rakam.) [Aldığımız bu sayıyı herhangi...

Kenarortay, bir üçgenin herhangi bir köşesinden çıkan ve karşısındaki kenarı iki eş parçaya bölmesiyle elde edilen doğruya verilen isimdir. Kenarortay doğrusu "V" (Vasat) harfiyle gösterilir. Üçgenin üç kenarından da çekilen kenarortaylar her zaman tek bir yerde kesişirler. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir. Ağırlık merkezi "G" (Gravity) harfiyle gösterilir. Kenarortay doğrusu ile üçgenin kenar uzunlukları arasında bir bağlantı vardır. Buna Kenarortay Teoremi denir. Herhangi bir ABC üçgeni alalım ve kenar uzunluklarına sırasıyla a, b, c birim diyelim. A köşesinden çekilen kenarortay [BC] kenarını iki eş parçaya böler. ( |BD|=|DC|= a/2 olur.) Aynı zamanda A noktasından yükseklik indirelim ve yükseklikle kenarortay arasındaki uzunluğa k birim diyelim. Buradan |BH|= a/2-k, |DC|= a/2+k elde edilir. pdf hali için tıklayınız...

Elips, bir düzlemde verilen iki noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yerine verilen isimdir. Bu sabit iki noktaya elipsin odak noktaları denir. F (Focus) harfiyle gösterilir. A, A', B, B' noktaları elipsin köşeleridir. |AA'| eksenine asal eksen, |BB'| eksenine yedek eksen denir. Elips üzerinde aldığımız herhangi bir noktanın odaklara olan uzaklıkları toplamı sabit ve 2a uzunluğundadır. Yani, |PF|+|PF'|=2a 'dır. Şimdi de iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak merkezil elipsin formülünü bulalım; pdf hali için tıklayınız...

Düzgün Beşgen, bütün kenarları birbirine eşit beş kenarlı bir çokgendir. Düzgün beşgenin zor soruları genelde köşegen uzunluğunun kenar uzunluğuyla olan ilişkisiyle bulunuyor. Bir düzgün beşgen alalım ve bir kenarına a cm, bir köşegenine x cm uzunluğunu verelim. ( Düzgün beşgen'de bütün köşegenler birbirine eşittir. Benzerlikten bunu rahatça görebiliriz.)  (Şekil 1) Düzgün Beşgen'in içindeki ABE üçgenini alalım ve bu üçgenin [BA  doğrusunu uzatalım. Üçgenin E noktasından, uzattığımız doğruya 36 derece açı yapacak şekilde bir doğru çekelim. Oluşan üçgende F açısı 72 derece olur. (Şekil 2) Görüldüğü gibi BFE üçgeniyle EAF üçgeni arasında Açı-Açı-Açı Benzerliği vardır. Benzerliği oluşturduğumuzda ve düzenlediğimizde, ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem elde ederiz. Bu denklemin köklerini Δ (delta) yardımıyla bulalım. ( bkz. ) Uzunluk negatif olamayacağı için bizim kökümüz, pozitif olan kök olur. Sonuç olarak, bir kenarı a cm olan Düzgün Beşgen'de köş...

Geometride u teoremi diyebilinen Heron Teoremi bize herhangi bir ABC üçgeninde yüksekliği bilmeden, sadece üç kenar uzunluğu bilinerek o üçgenin alanını bulmaya yardımcı olur. Bir ABC üçgeninin iç teğet çemberi ile dış teğet çemberini alalım. Kenarları sırasıyla a, b, c olmak üzere, u=(a+b+c)/2 şeklinde tanımlayalım. u 'yu bu şekilde tanımladığımızda kenarlar aşağıdaki gibi olurlar. ( bkz. ) Çemberlerin merkezleri ile üçgenin köşesi aynı doğrultu üzerinde bulunurlar. Merkezlerden teğetlere yarıçap çektiğimizde teğetle yarıçap arası 90 derece olur. (Teğet değme noktasında yarıçapa diktir.) Aynı zamanda iç teğet çemberinin merkezinden de dış teğet çemberinin merkezinden de köşelere doğrular çektiğimizde açıortay elde ederiz. C kenarından çizilen iç ve dış açıortay arasında kalan açı 180/2=90 derece olur.  Şimdi sıra geldi benzerlik yapmaya. OiDC üçgeniyle CEOd üçgenleri birbirine benzer üçgenlerdir. Aynı zamanda, BDOi üçgeniyle BEOd üçgeni de b...

Herhangi bir ABC üçgeninin kenarlarına sırasıyla a, b, c uzunluklarını verelim. Bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapına da r diyelim. Çemberin merkezinden üçgenin kenarlarına doğrular çektiğimizde ABC üçgenini üç alana ayırmış oluruz. Her bir üçgenin alanını üçgenin klasik alan formülünden hesaplayabiliriz. Üç alanın toplamı Alan(ABC)'yi verir. [Buradaki alan formülünde (a+b+c) / 2 yerine u dedik.]

Kenarları sırasıyla a,b ve c olan ABC üçgenine bir iç teğet çember çizelim. Çemberin üçgenin kenarlarıyla kesiştiği yerlere sırasıyla D, E, F isimleri verelim. Bildiğimiz gibi çemberin dışındaki bir noktadan, çembere en fazla iki teğet çizebiliriz ve bu teğet doğrular birbirine eşit olurlar. (bkz: Şekil 1) Biz bunlara, |BD|=|BF|= x,  |CF|=|CE|= y,  |AD|=|AE|= z diyelim. Aynı zamanda, x+y= a,  y+z= b,  x+z= c olduğu görülür. u 'yu  u = (a+b+c) / 2 şeklinde tanımlayalım. b+c = y+z+x+z = x+y+2z  ⇒  b+c = a+2z olur. (x+y = a) Şimdi u formülünde b+c yerine a+2z yazdığımızda, u = (a+a+2z) / 2 buluruz. Düzenlediğimizde, z = u - a olur. Aynı şekilde diğerlerini de yaptığımızda, aşağıdaki kenar uzunluklarını şu şekilde elde ederiz.

Herhangi bir ABC üçgeni alalım. Aldığımız bu üçgenin bir çevrel çemberi (yani A, B ve C noktalarından geçen ve üçgenin çevresini saran bir çember) vardır. Bu çemberin yarıçapına R, çemberin merkezine O diyelim. Bu merkez, üçgenin dışında kaldığı gibi içinde de olabilir. Merkezin, üçgenin dışında ya da içinde olması  bizim vereceğimiz alan formülünü değiştirmeyecektir. ABC üçgeninin kenarları sırasıyla a, b, c olmak üzere şekildeki gibi çizebiliriz. A noktasından indirdiğimiz yüksekliğe h diyelim. Aynı zamanda, AO doğrultusunu uzattığımızda, O merkezli çemberde |AD| çapını elde etmiş oluruz. DBA üçgeninde B açısı çapı gördüğünden 90 derece olur. (Çapı gören çevre açı 90 derecedir.) Aynı yayı gören çevre açılar birbirine eşit olduğu için D açısı ile C açısı birbirine eşittir. (Çünkü D açısı da C açısı da AB yayını görüyor.) Bu açılara x diyelim. Üçgenin iç açıları toplamı değişmediği için, AHC üçgenindeki A açısıyla, ABD üçgenindeki A açısı birbirine eşittir. Bu açılara ...

Test kitaplarında geometri sorularının şekli önceden verilir ve o şeklin doğru olup olmadığı düşünülmeden (çünkü sorulan soruda şeklin doğruluğu esastır, aksi halde soru yanlış olur) soru çözülmeye çalışılır. Fakat olimpiyat sorularında küçük bir fark var. Sorular her zaman metin halinde veriliyor. Yani sen soruyu çözmeden önce, sorulan sorunun şeklini çizmen gerek. Bu da, çizdiğin şekil yanlışsa çözüm yapamayacağın anlamına gelir. Artık ÖSYM'nin geometri sorularını olimpiyatlardaki gibi metin şeklinde verdiğini görüyoruz. Bunun hem avantajı hem de dezavantajı var: ÖSYM sınavlarında metin soruları olimpiyatlardaki kadar zor değildir. Şekli doğru çizdikten sonra cevabın ne kadar kolay olduğu görülür. Olimpiyat sorularında ise çözüm şekli çizdikten sonra başlar aslında. Genelde şekillerden bile korkan öğrenciler, metin halinde verilen geometri sorularını tamamen görmezden geliyorlar maalesef. Bunun en önemli nedeni okuduğunu anlamamaktan kaynaklanıyor. Bu problem de sadece kendin...

Matematikte önemli olan hız değildir. Formülleri kullanarak çözdüğün sorunun, formülsüz, nereden ve nasıl çözülebileceği esas sorundur. Bu bilinmeden kullanılan formül her zaman verimsizdir. Size sadece "bir şeyler" buldurur. Bu bulduğunuz birşeyler sizi hiçbir zaman matematiksel düşünme olarak ilerletmez. Ve aslında temeli öğrenilmeyen bir formül hamallıktan başkası değildir. İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ise okullarda genellikle formülleri direkt verilen, nereden geldiği, nasıl bulunduğu anlatılmadan soruları çözülen bir formüldür. Aslında çok basit olan bir şey, bu şekilde çok karmaşık ve "sevimsiz" bir hâl alıyor. Amacım bu tabuları yıkmak aslında. Herşeyin temeline inmek, sır rını bulmak yegane görevimiz olmalı. pdf hali için tıklayınız...