Bir Üçgenin Çevrel Çember Yarıçapı Kullanılarak Elde Edilen Alan Formülünün İspatı
Herhangi bir ABC üçgeni alalım. Aldığımız bu üçgenin bir çevrel çemberi (yani A, B ve C noktalarından geçen ve üçgenin çevresini saran bir çember) vardır. Bu çemberin yarıçapına R, çemberin merkezine O diyelim. Bu merkez, üçgenin dışında kaldığı gibi içinde de olabilir. Merkezin, üçgenin dışında ya da içinde olması bizim vereceğimiz alan formülünü değiştirmeyecektir. ABC üçgeninin kenarları sırasıyla a, b, c olmak üzere şekildeki gibi çizebiliriz.
A noktasından indirdiğimiz yüksekliğe h diyelim. Aynı zamanda, AO doğrultusunu uzattığımızda, O merkezli çemberde |AD| çapını elde etmiş oluruz. DBA üçgeninde B açısı çapı gördüğünden 90 derece olur. (Çapı gören çevre açı 90 derecedir.)
Aynı yayı gören çevre açılar birbirine eşit olduğu için D açısı ile C açısı birbirine eşittir. (Çünkü D açısı da C açısı da AB yayını görüyor.) Bu açılara x diyelim. Üçgenin iç açıları toplamı değişmediği için, AHC üçgenindeki A açısıyla, ABD üçgenindeki A açısı birbirine eşittir. Bu açılara da y diyelim.
Şimdi sıra geldi geometrinin en önemli konusu olan BENZERLİK yapmaya. Görüldüğü gibi AHC ve ABD üçgenlerinin iç açıları birbirine eşittir. Yani bu iki üçgen arasında açı açı açı benzerliği (AAA Benzerliği) vardır.
Bu iki üçgende, 90 derecelerin gördüğü kenarların oranı, x açılarının gördükleri kenarların oranına eşittir. Buradan, b/(2.R) oranının h/c oranına eşit olduğu görülür. Düzenlediğimizde, yüksekliği h=(b.c)/(2.R) buluruz.
ABC üçgeninde klasik alan formülü, taban uzunluğu a, tabana ait yükseklik h olmak üzere, Alan(ABC)= (h.a)/2 olduğunu biliyoruz. h yerine yukarıda bulduğumuz eşitliği yazıp düzenlediğimizde, Alan(ABC)=(a.b.c)/(4.R) elde ederiz.
A noktasından indirdiğimiz yüksekliğe h diyelim. Aynı zamanda, AO doğrultusunu uzattığımızda, O merkezli çemberde |AD| çapını elde etmiş oluruz. DBA üçgeninde B açısı çapı gördüğünden 90 derece olur. (Çapı gören çevre açı 90 derecedir.)
Aynı yayı gören çevre açılar birbirine eşit olduğu için D açısı ile C açısı birbirine eşittir. (Çünkü D açısı da C açısı da AB yayını görüyor.) Bu açılara x diyelim. Üçgenin iç açıları toplamı değişmediği için, AHC üçgenindeki A açısıyla, ABD üçgenindeki A açısı birbirine eşittir. Bu açılara da y diyelim.
Şimdi sıra geldi geometrinin en önemli konusu olan BENZERLİK yapmaya. Görüldüğü gibi AHC ve ABD üçgenlerinin iç açıları birbirine eşittir. Yani bu iki üçgen arasında açı açı açı benzerliği (AAA Benzerliği) vardır.
Bu iki üçgende, 90 derecelerin gördüğü kenarların oranı, x açılarının gördükleri kenarların oranına eşittir. Buradan, b/(2.R) oranının h/c oranına eşit olduğu görülür. Düzenlediğimizde, yüksekliği h=(b.c)/(2.R) buluruz.
ABC üçgeninde klasik alan formülü, taban uzunluğu a, tabana ait yükseklik h olmak üzere, Alan(ABC)= (h.a)/2 olduğunu biliyoruz. h yerine yukarıda bulduğumuz eşitliği yazıp düzenlediğimizde, Alan(ABC)=(a.b.c)/(4.R) elde ederiz.
