Heron Teoreminin İspatı

Geometride u teoremi diyebilinen Heron Teoremi bize herhangi bir ABC üçgeninde yüksekliği bilmeden, sadece üç kenar uzunluğu bilinerek o üçgenin alanını bulmaya yardımcı olur.

Bir ABC üçgeninin iç teğet çemberi ile dış teğet çemberini alalım. Kenarları sırasıyla a, b, c olmak üzere, u=(a+b+c)/2 şeklinde tanımlayalım. u 'yu bu şekilde tanımladığımızda kenarlar aşağıdaki gibi olurlar. (bkz.)

Çemberlerin merkezleri ile üçgenin köşesi aynı doğrultu üzerinde bulunurlar. Merkezlerden teğetlere yarıçap çektiğimizde teğetle yarıçap arası 90 derece olur. (Teğet değme noktasında yarıçapa diktir.)


Aynı zamanda iç teğet çemberinin merkezinden de dış teğet çemberinin merkezinden de köşelere doğrular çektiğimizde açıortay elde ederiz. C kenarından çizilen iç ve dış açıortay arasında kalan açı 180/2=90 derece olur. 


Şimdi sıra geldi benzerlik yapmaya. OiDC üçgeniyle CEOd üçgenleri birbirine benzer üçgenlerdir. Aynı zamanda, BDOi üçgeniyle BEOd üçgeni de benzer üçgenlerdir. Benzerlikleri yapıp düzenlediğimizde;


ABC üçgeninde iç teğet çemberinin yarıçapıyla u'nun çarpımı alanı verir. (bkz.) Yani, S=Alan(ABC)=u.r 'dir. Buradan, üstteki eşitliği de kullanarak Heron Teoremini elde etmiş oluruz.


Bu blogdaki popüler yayınlar

Üçgende İç Teğet Çember Yarıçapı ile Kenar Uzunlukları Kullanılarak Elde Edilen Alan

Resim
Herhangi bir ABC üçgeninin kenarlarına sırasıyla a, b, c uzunluklarını verelim. Bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapına da r diyelim. Çemberin merkezinden üçgenin kenarlarına doğrular çektiğimizde ABC üçgenini üç alana ayırmış oluruz. Her bir üçgenin alanını üçgenin klasik alan formülünden hesaplayabiliriz. Üç alanın toplamı Alan(ABC)'yi verir. [Buradaki alan formülünde (a+b+c) / 2 yerine u dedik.]
Devamı

Düzgün Beşgen'de Köşegen Uzunluğu

Resim
Düzgün Beşgen, bütün kenarları birbirine eşit beş kenarlı bir çokgendir. Düzgün beşgenin zor soruları genelde köşegen uzunluğunun kenar uzunluğuyla olan ilişkisiyle bulunuyor. Bir düzgün beşgen alalım ve bir kenarına a cm, bir köşegenine x cm uzunluğunu verelim. ( Düzgün beşgen'de bütün köşegenler birbirine eşittir. Benzerlikten bunu rahatça görebiliriz.)  (Şekil 1) Düzgün Beşgen'in içindeki ABE üçgenini alalım ve bu üçgenin [BA  doğrusunu uzatalım. Üçgenin E noktasından, uzattığımız doğruya 36 derece açı yapacak şekilde bir doğru çekelim. Oluşan üçgende F açısı 72 derece olur. (Şekil 2) Görüldüğü gibi BFE üçgeniyle EAF üçgeni arasında Açı-Açı-Açı Benzerliği vardır. Benzerliği oluşturduğumuzda ve düzenlediğimizde, ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem elde ederiz. Bu denklemin köklerini Δ (delta) yardımıyla bulalım. ( bkz. ) Uzunluk negatif olamayacağı için bizim kökümüz, pozitif olan kök olur. Sonuç olarak, bir kenarı a cm olan Düzgün Beşgen'de köş...
Devamı

Matematikte Kullanılan Harflerin Anlamları

Matematikte ve Geometride tanım yaparken harflerden yararlanırız. Bu harfler genellikle kullanılan tanımın baş harfi olurlar. Bazen de matematikçinin isminin ya da soyisminin baş harfi kullanılır. Örneğin " e sayısı " bu sayıyı keşfeden matematikçi Euler'in baş harfinden gelmektedir. Bazıları anonim olmakla birlikte çoğu (özellikle) ingilizcede kullanılan kelimelerin baş harflerinden oluşturulmuştur. Şimdi hep birlikte onlara bakalım. N : Doğal sayıları tanımlarken kullanılır. İngilizcede 'Naturel' kelimesinin baş harfidir. Z : Tam sayılar için kullanılır. Almancada 'Zahlen' kelimesinden gelir. Zahlen kelime olarak 'saymak' demektir. Q : Rasyonel sayılar için kullanılır. İngilizcede 'Quotient' kelimesinin baş harfidir. R : Reel sayıları gösterirken kullanılan bu harf, ingilizcede 'Real' kelimesinin baş harfinden oluşturulmuştur. I : Sanal sayılar gösterilirken kullanılır. İngilizcede 'Imaginary' kelimesinden gelmek...
Devamı