Bölünebilme Kuralları
Matematikte çokça kullanılan ve zaman kazandıran bir konudur bölünebilme. Herhangi bir sayı aldığımızda onun hangi sayıların çarpımından oluştuğu ya da aldığımız herhangi sayıya bölünüp bölünmediği bizim için önemlidir.
Peki "bölünebilme kuralı" nedir, ne işe yarar ve nasıl oluşturulmuştur bu kurallar?
Bölünebilme kuralları, bir sayının aldığımız herhangi bir sayıya tam bölünüp bölünmediğini sayıyı bölmeden bulmamızı sağlar. Bu sayede sayıyı tamamen bölmek yerine, kuralı kullanarak zaman kazanmış oluruz. Mesela 1294 sayısı 2'ye, 111 sayısı 3'e, 54234 sayısı 9'a tam bölünürler, fakat 8039 sayısı 5'e tam bölünmez. Gördüğünüz gibi vermiş olduğumuz örnekte sayıları birbirlerine bölmemize gerek kalmadan istediğimiz sayıya tam bölünüp bölünemeyeceğini tespit ettik.
Peki, nasıl yaptık bunu?
Bunu yaparken aldığımız sayıyı sayı basamaklarına ayırdık. Örneğin beş basamaklı bir abcde sayısı alalım. (a, b, c, d, e rakam.) [Aldığımız bu sayıyı herhangi bir "n" basamaklı da alabilirdik fakat konu anlaşılması bakımından böyle aldık. İstersek tümevarım yöntemiyle, n=1 için doğru olduğunu gösterip, n=k tamsayısı için doğru olduğunu kabul ederek, n=k+1 için doğruluğunu kanıtlayabiliriz.] Şimdi kendimize sorular soracağız.
i) Bu beş basamaklı abcde sayısının 2'ye tam bölünmesi için nasıl bir sayı olması gerekir?
Öncelikle abcde sayısını, sayı basamaklarına ayıralım. abcde sayısı
abcde = a.10^4 + b.10^3 + c.10^2 + d.10^1 + e.10^0
(onbinler) (binler) (yüzler) (onlar) (birler)
= a.10000 + b.1000 + c.100 + d.10 + e.1
şeklinde sayı basamaklarına ayrılır. Biz bu sayıyı 2'ye bölmek yerine, sayının her bir toplam parçasını 2'ye bölerek kalanlarını hesaplayalım.
abcde / 2 = a.10000 / 2 + b.1000 / 2 + c.100 / 2 + d.10 / 2 + e.1 / 2
10'un 2'ye bölümünde kalan 0 (sıfır) dır. Aynı şekilde 100, 1000 ve 10000'in 2'ye bölümlerinde de kalan 0'dır. (Bunu sonsuza kadar uzatabiliriz.) Fakat 1'i 2'ye böldüğümüzde 1 kalanını verir.
Dediğimiz gibi esas amacımız kalan olup olmadığını araştırmak. Buna bağlı olarak, çarpım sayılardan bir tanesinin tam bölünmesi sayının tam bölündüğü anlamına gelir. Yani, d.10 sayısında 2 sayısı 10'u tam böldüğü için d.10 sayısını da tam böler. Bu durum aynı şekilde c.100, b.1000, a.10000 sayıları için de geçerlidir.
Böldüğümüz sayıdaki kalanlar 0+0+0+0+e şeklindedir. Kalanları topladığımızda abcde/2 sayısının kalanını bulmuş oluruz. Yani, abcde sayısını 2'ye böldüğümüzde "e" kalanını elde ederiz. e sayısının bir rakam olduğunu biliyoruz. Kısacası e sayısı 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sayılarından herhangi birini almak zorundadır. Eğer e sayısı çift değerler (0, 2, 4, 6, 8) alırsa 2'ye tam bölünür. Böylece abcde beş basamaklı sayısı da 2'ye tam bölünmüş olur.
Sonuç olarak bir sayının 2'ye tam bölünmesi için sadece, verilen sayının birler basamağının çift sayı olması zorunludur.
ii) Bu beş basamaklı abcde sayısının 3'e tam bölünmesi için nasıl bir sayı olması gerekir?
Tekrardan abcde sayısını, sayı basamaklarına ayırdığımızda elde ettiğimiz a.10000+b.1000+c.100+d.10+e.1 toplamındaki her bir toplamı 3'e böldüğümüzde,
abcde / 3 = a.10000 / 3 + b.1000 / 3 + c.100 / 3 + d.10 / 3 + e.1 / 3
1, 10, 100, 1000, 10000,... sayılarının hepsinin 3'e bölümünden kalan 1'dir. Böldüğümüz sayıdaki kalanlar a.1+b.1+c.1+d.1+e.1 şeklindedir. Toplam a+b+c+d+e olur. a+b+c+d+e toplamı 3'ün katıysa abcde beş basamaklı sayımız da 3'e tam bölünür.
Sonuç olarak bir sayının 3'e tam bölünmesi için sayı basamaklarının toplamının 3'ün katı olması lazımdır.
iii) Bu beş basamaklı abcde sayısının 4'e tam bölünmesi için nasıl bir sayı olması gerekir?
abcde / 4 = a.10000 / 4 + b.1000 / 4 + c.100 / 4 + d.10 / 4 + e.1 / 4
100, 1000, 10000,... sayılarının hepsi 4'e kalansız bölünür. Yani herhangi bir sayının son iki basamağı 4'ün katıysa, o sayı 4'e tam bölünür.
.
.
.
Bunu devam ettirdiğimizde 5'e bölünme kuralında son basamağın 0 veya 5 olması gerektiğini görürüz. Aynı şekilde bütün sayılar için bir kural bulabiliriz.
Peki "bölünebilme kuralı" nedir, ne işe yarar ve nasıl oluşturulmuştur bu kurallar?
Bölünebilme kuralları, bir sayının aldığımız herhangi bir sayıya tam bölünüp bölünmediğini sayıyı bölmeden bulmamızı sağlar. Bu sayede sayıyı tamamen bölmek yerine, kuralı kullanarak zaman kazanmış oluruz. Mesela 1294 sayısı 2'ye, 111 sayısı 3'e, 54234 sayısı 9'a tam bölünürler, fakat 8039 sayısı 5'e tam bölünmez. Gördüğünüz gibi vermiş olduğumuz örnekte sayıları birbirlerine bölmemize gerek kalmadan istediğimiz sayıya tam bölünüp bölünemeyeceğini tespit ettik.
Peki, nasıl yaptık bunu?
Bunu yaparken aldığımız sayıyı sayı basamaklarına ayırdık. Örneğin beş basamaklı bir abcde sayısı alalım. (a, b, c, d, e rakam.) [Aldığımız bu sayıyı herhangi bir "n" basamaklı da alabilirdik fakat konu anlaşılması bakımından böyle aldık. İstersek tümevarım yöntemiyle, n=1 için doğru olduğunu gösterip, n=k tamsayısı için doğru olduğunu kabul ederek, n=k+1 için doğruluğunu kanıtlayabiliriz.] Şimdi kendimize sorular soracağız.
i) Bu beş basamaklı abcde sayısının 2'ye tam bölünmesi için nasıl bir sayı olması gerekir?
Öncelikle abcde sayısını, sayı basamaklarına ayıralım. abcde sayısı
abcde = a.10^4 + b.10^3 + c.10^2 + d.10^1 + e.10^0
(onbinler) (binler) (yüzler) (onlar) (birler)
= a.10000 + b.1000 + c.100 + d.10 + e.1
şeklinde sayı basamaklarına ayrılır. Biz bu sayıyı 2'ye bölmek yerine, sayının her bir toplam parçasını 2'ye bölerek kalanlarını hesaplayalım.
abcde / 2 = a.10000 / 2 + b.1000 / 2 + c.100 / 2 + d.10 / 2 + e.1 / 2
10'un 2'ye bölümünde kalan 0 (sıfır) dır. Aynı şekilde 100, 1000 ve 10000'in 2'ye bölümlerinde de kalan 0'dır. (Bunu sonsuza kadar uzatabiliriz.) Fakat 1'i 2'ye böldüğümüzde 1 kalanını verir.
Dediğimiz gibi esas amacımız kalan olup olmadığını araştırmak. Buna bağlı olarak, çarpım sayılardan bir tanesinin tam bölünmesi sayının tam bölündüğü anlamına gelir. Yani, d.10 sayısında 2 sayısı 10'u tam böldüğü için d.10 sayısını da tam böler. Bu durum aynı şekilde c.100, b.1000, a.10000 sayıları için de geçerlidir.
Böldüğümüz sayıdaki kalanlar 0+0+0+0+e şeklindedir. Kalanları topladığımızda abcde/2 sayısının kalanını bulmuş oluruz. Yani, abcde sayısını 2'ye böldüğümüzde "e" kalanını elde ederiz. e sayısının bir rakam olduğunu biliyoruz. Kısacası e sayısı 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sayılarından herhangi birini almak zorundadır. Eğer e sayısı çift değerler (0, 2, 4, 6, 8) alırsa 2'ye tam bölünür. Böylece abcde beş basamaklı sayısı da 2'ye tam bölünmüş olur.
Sonuç olarak bir sayının 2'ye tam bölünmesi için sadece, verilen sayının birler basamağının çift sayı olması zorunludur.
ii) Bu beş basamaklı abcde sayısının 3'e tam bölünmesi için nasıl bir sayı olması gerekir?
Tekrardan abcde sayısını, sayı basamaklarına ayırdığımızda elde ettiğimiz a.10000+b.1000+c.100+d.10+e.1 toplamındaki her bir toplamı 3'e böldüğümüzde,
abcde / 3 = a.10000 / 3 + b.1000 / 3 + c.100 / 3 + d.10 / 3 + e.1 / 3
1, 10, 100, 1000, 10000,... sayılarının hepsinin 3'e bölümünden kalan 1'dir. Böldüğümüz sayıdaki kalanlar a.1+b.1+c.1+d.1+e.1 şeklindedir. Toplam a+b+c+d+e olur. a+b+c+d+e toplamı 3'ün katıysa abcde beş basamaklı sayımız da 3'e tam bölünür.
Sonuç olarak bir sayının 3'e tam bölünmesi için sayı basamaklarının toplamının 3'ün katı olması lazımdır.
iii) Bu beş basamaklı abcde sayısının 4'e tam bölünmesi için nasıl bir sayı olması gerekir?
100, 1000, 10000,... sayılarının hepsi 4'e kalansız bölünür. Yani herhangi bir sayının son iki basamağı 4'ün katıysa, o sayı 4'e tam bölünür.
.
.
.
Bunu devam ettirdiğimizde 5'e bölünme kuralında son basamağın 0 veya 5 olması gerektiğini görürüz. Aynı şekilde bütün sayılar için bir kural bulabiliriz.
