geomatData

Elips, bir düzlemde verilen iki noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yerine verilen isimdir. Bu sabit iki noktaya elipsin odak noktaları denir. F (Focus) harfiyle gösterilir. A, A', B, B' noktaları elipsin köşeleridir. |AA'| eksenine asal eksen, |BB'| eksenine yedek eksen denir. Elips üzerinde aldığımız herhangi bir noktanın odaklara olan uzaklıkları toplamı sabit ve 2a uzunluğundadır. Yani, |PF|+|PF'|=2a 'dır. Şimdi de iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak merkezil elipsin formülünü bulalım; pdf hali için tıklayınız...

Düzgün Beşgen, bütün kenarları birbirine eşit beş kenarlı bir çokgendir. Düzgün beşgenin zor soruları genelde köşegen uzunluğunun kenar uzunluğuyla olan ilişkisiyle bulunuyor. Bir düzgün beşgen alalım ve bir kenarına a cm, bir köşegenine x cm uzunluğunu verelim. ( Düzgün beşgen'de bütün köşegenler birbirine eşittir. Benzerlikten bunu rahatça görebiliriz.)  (Şekil 1) Düzgün Beşgen'in içindeki ABE üçgenini alalım ve bu üçgenin [BA  doğrusunu uzatalım. Üçgenin E noktasından, uzattığımız doğruya 36 derece açı yapacak şekilde bir doğru çekelim. Oluşan üçgende F açısı 72 derece olur. (Şekil 2) Görüldüğü gibi BFE üçgeniyle EAF üçgeni arasında Açı-Açı-Açı Benzerliği vardır. Benzerliği oluşturduğumuzda ve düzenlediğimizde, ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklem elde ederiz. Bu denklemin köklerini Δ (delta) yardımıyla bulalım. ( bkz. ) Uzunluk negatif olamayacağı için bizim kökümüz, pozitif olan kök olur. Sonuç olarak, bir kenarı a cm olan Düzgün Beşgen'de köş...

Geometride u teoremi diyebilinen Heron Teoremi bize herhangi bir ABC üçgeninde yüksekliği bilmeden, sadece üç kenar uzunluğu bilinerek o üçgenin alanını bulmaya yardımcı olur. Bir ABC üçgeninin iç teğet çemberi ile dış teğet çemberini alalım. Kenarları sırasıyla a, b, c olmak üzere, u=(a+b+c)/2 şeklinde tanımlayalım. u 'yu bu şekilde tanımladığımızda kenarlar aşağıdaki gibi olurlar. ( bkz. ) Çemberlerin merkezleri ile üçgenin köşesi aynı doğrultu üzerinde bulunurlar. Merkezlerden teğetlere yarıçap çektiğimizde teğetle yarıçap arası 90 derece olur. (Teğet değme noktasında yarıçapa diktir.) Aynı zamanda iç teğet çemberinin merkezinden de dış teğet çemberinin merkezinden de köşelere doğrular çektiğimizde açıortay elde ederiz. C kenarından çizilen iç ve dış açıortay arasında kalan açı 180/2=90 derece olur.  Şimdi sıra geldi benzerlik yapmaya. OiDC üçgeniyle CEOd üçgenleri birbirine benzer üçgenlerdir. Aynı zamanda, BDOi üçgeniyle BEOd üçgeni de b...

Herhangi bir ABC üçgeninin kenarlarına sırasıyla a, b, c uzunluklarını verelim. Bu üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapına da r diyelim. Çemberin merkezinden üçgenin kenarlarına doğrular çektiğimizde ABC üçgenini üç alana ayırmış oluruz. Her bir üçgenin alanını üçgenin klasik alan formülünden hesaplayabiliriz. Üç alanın toplamı Alan(ABC)'yi verir. [Buradaki alan formülünde (a+b+c) / 2 yerine u dedik.]

Kenarları sırasıyla a,b ve c olan ABC üçgenine bir iç teğet çember çizelim. Çemberin üçgenin kenarlarıyla kesiştiği yerlere sırasıyla D, E, F isimleri verelim. Bildiğimiz gibi çemberin dışındaki bir noktadan, çembere en fazla iki teğet çizebiliriz ve bu teğet doğrular birbirine eşit olurlar. (bkz: Şekil 1) Biz bunlara, |BD|=|BF|= x,  |CF|=|CE|= y,  |AD|=|AE|= z diyelim. Aynı zamanda, x+y= a,  y+z= b,  x+z= c olduğu görülür. u 'yu  u = (a+b+c) / 2 şeklinde tanımlayalım. b+c = y+z+x+z = x+y+2z  ⇒  b+c = a+2z olur. (x+y = a) Şimdi u formülünde b+c yerine a+2z yazdığımızda, u = (a+a+2z) / 2 buluruz. Düzenlediğimizde, z = u - a olur. Aynı şekilde diğerlerini de yaptığımızda, aşağıdaki kenar uzunluklarını şu şekilde elde ederiz.

Herhangi bir ABC üçgeni alalım. Aldığımız bu üçgenin bir çevrel çemberi (yani A, B ve C noktalarından geçen ve üçgenin çevresini saran bir çember) vardır. Bu çemberin yarıçapına R, çemberin merkezine O diyelim. Bu merkez, üçgenin dışında kaldığı gibi içinde de olabilir. Merkezin, üçgenin dışında ya da içinde olması  bizim vereceğimiz alan formülünü değiştirmeyecektir. ABC üçgeninin kenarları sırasıyla a, b, c olmak üzere şekildeki gibi çizebiliriz. A noktasından indirdiğimiz yüksekliğe h diyelim. Aynı zamanda, AO doğrultusunu uzattığımızda, O merkezli çemberde |AD| çapını elde etmiş oluruz. DBA üçgeninde B açısı çapı gördüğünden 90 derece olur. (Çapı gören çevre açı 90 derecedir.) Aynı yayı gören çevre açılar birbirine eşit olduğu için D açısı ile C açısı birbirine eşittir. (Çünkü D açısı da C açısı da AB yayını görüyor.) Bu açılara x diyelim. Üçgenin iç açıları toplamı değişmediği için, AHC üçgenindeki A açısıyla, ABD üçgenindeki A açısı birbirine eşittir. Bu açılara ...

Test kitaplarında geometri sorularının şekli önceden verilir ve o şeklin doğru olup olmadığı düşünülmeden (çünkü sorulan soruda şeklin doğruluğu esastır, aksi halde soru yanlış olur) soru çözülmeye çalışılır. Fakat olimpiyat sorularında küçük bir fark var. Sorular her zaman metin halinde veriliyor. Yani sen soruyu çözmeden önce, sorulan sorunun şeklini çizmen gerek. Bu da, çizdiğin şekil yanlışsa çözüm yapamayacağın anlamına gelir. Artık ÖSYM'nin geometri sorularını olimpiyatlardaki gibi metin şeklinde verdiğini görüyoruz. Bunun hem avantajı hem de dezavantajı var: ÖSYM sınavlarında metin soruları olimpiyatlardaki kadar zor değildir. Şekli doğru çizdikten sonra cevabın ne kadar kolay olduğu görülür. Olimpiyat sorularında ise çözüm şekli çizdikten sonra başlar aslında. Genelde şekillerden bile korkan öğrenciler, metin halinde verilen geometri sorularını tamamen görmezden geliyorlar maalesef. Bunun en önemli nedeni okuduğunu anlamamaktan kaynaklanıyor. Bu problem de sadece kendin...